Álgebra linear Exemplos

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

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Etapa 2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Etapa 2.6

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Etapa 2.7

Some $0$ e $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Etapa 2.8

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 2.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = 8$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Etapa 4

A equação tem uma fração indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Encontre o quadrante.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Etapa 5.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Etapa 5.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$(0, 1 \cdot 8)$

Etapa 5.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$(0, 8)$

Etapa 5.5

Como a coordenada y é positiva e a coordenada x é $0$ , o ponto está localizado no eixo y, entre o primeiro e o quarto quadrantes. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo canto superior direito.

Entre o quadrante $1$ e $2$

Etapa 6

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 7

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

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Etapa 7.1

Combine ${(8)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 7.2

Combine $c$ e $\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Etapa 7.3

Combine $i$ e $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Etapa 7.4

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Etapa 7.5

Remova os parênteses.

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Etapa 7.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Etapa 7.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Etapa 7.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Etapa 7.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Etapa 7.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 7.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 7.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 8

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Etapa 8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Etapa 8.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Etapa 8.4

Avalie o expoente.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Etapa 8.5

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 8.5.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Etapa 8.5.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Etapa 9

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Etapa 9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Etapa 9.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Etapa 9.4

Avalie o expoente.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Etapa 9.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Etapa 10

Substitua $k = 2$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 10.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Etapa 10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.3.1

Cancele o fator comum.

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Etapa 10.3.2

Reescreva a expressão.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Etapa 10.4

Avalie o expoente.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Etapa 10.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Etapa 11

Liste as soluções.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$